Три променљиве линеарне једначине и метода решења

У архитектури постоје математички прорачуни за изградњу зграда, од којих је један систем линеарних једначина. Систем линеарних једначина користан је за одређивање координата пресечних тачака. Тачне координате су кључне за израду зграде која одговара скици. У овом чланку ћемо размотрити систем линеарних једначина са три променљиве (СПЛТВ).

Систем линеарних једначина са три променљиве састоји се од неколико линеарних једначина са три променљиве. Општи облик линеарне једначине са три променљиве је следећи.

секира + за + цз = д

а, б, ц и д су стварни бројеви, али а, б и ц не могу сви бити 0. Једначина има много решења. Једно решење се може добити изједначавањем било које вредности са две променљиве да би се утврдила вредност треће променљиве.

Вредност (к, и, з) је скуп решења за систем са три променљиве линеарних једначина ако вредност (к, и, з) задовољава три једначине у СПЛТВ. Скуп поравнања СПЛТВ може се одредити на два начина, и то методом супституције и методом елиминације.

Метода замене

Метода супституције је метода решавања система линеарних једначина заменом вредности једне променљиве из једне једначине у другу. Ова метода се изводи све док се не добију све променљиве вредности у систему линеарних једначина са три променљиве.

(Такође прочитајте: Дво променљиви систем линеарне једначине)

Метод супституције је лакше користити на СПЛТВ-у који садржи једначине са коефицијентом 0 или 1. Ево корака за решавање методе супституције.

  1. Наћи једначину која има једноставне облике. Поједностављене једначине имају коефицијент 1 или 0.
  2. Изразите једну променљиву у облику друге две променљиве. На пример, променљива к је изражена у терминима променљиве и или з.
  3. Замените вредности променљивих добијене у другом кораку у друге једначине у СПЛТВ-у, тако да се добије систем двоструких променљивих линеарних једначина (СПЛДВ).
  4. Одредите поравнање СПЛДВ добијено у трећем кораку.
  5. Одредити вредности свих непознатих променљивих.

Направимо следећи пример проблема. Нађите скуп решења за следећи систем са три променљиве линеарних једначина.

к + и + з = -6… (1)

к - 2и + з = 3… (2)

-2к + и + з = 9… (3)

Прво, можемо претворити једначину (1) у, з = -к - и - 6 у једначину (4). Тада једначину (4) можемо заменити једначином (2) на следећи начин.

к - 2и + з = 3

к - 2и + (-к - и - 6) = 3

к - 2и - к - и - 6 = 3

-3и = 9

и = -3

После тога можемо једначину (4) заменити једначином (3) на следећи начин.

-2к + и + (-к - и - 6) = 9

-2к + и - к - и - 6 = 9

-3к = 15

к = -5

Добили смо вредности за к = -5 и и = -3. Можемо га укључити у једначину (4) да бисмо добили вредност з на следећи начин.

з = -к - и - 6

з = - (- 5) - (-3) - 6

з = 5 + 3 - 6

з = 2

Дакле, имамо скуп решења (к, и, з) = (-5, -3, 2)

Метода елиминације

Метода елиминације је метода решавања система линеарних једначина уклањањем једне од променљивих у две једначине. Ова метода се спроводи док не остане само једна променљива.

Метода елиминације се може користити у свим системима линеарних једначина са три променљиве. Али овај метод захтева дуг корак, јер сваки корак може елиминисати само једну променљиву. Да би се утврдио скуп СПЛТВ поравнања, потребне су најмање 3 методе елиминације. Овај метод је лакши у комбинацији са методом замене.

Кораци довршавања методом елиминације су следећи.

  1. Уочите три сличности на СПЛТВ-у. Ако две једначине имају исти коефицијент на истој променљивој, одузмите или додајте две једначине тако да променљива има коефицијент 0.
  2. Ако ниједна променљива нема исти коефицијент, помножите обе једначине са бројем који чини коефицијент променљиве у обе једначине једнаким. Одузми или сабери две једначине тако да променљива има коефицијент 0.
  3. Поновите корак 2 за остале парове једначина. Променљива изостављена у овом кораку мора бити иста као променљива изостављена у кораку 2.
  4. Након добијања две нове једначине у претходном кораку, одредите скуп решења за две једначине применом методе решења са две променљиве линеарне једначине (СПЛДВ).
  5. Замените вредност две променљиве добијене у кораку 4 у једној од СПЛТВ једначина тако да се добије вредност треће променљиве.

Покушаћемо да искористимо метод елиминације у следећем проблему. Одредите скуп СПЛТВ решења!

2к + 3г - з = 20… (1)

3к + 2и + з = 20… (2)

Кс + 4и + 2з = 15… (3)

СПЛТВ може одредити скуп решења уклањањем променљиве з. Прво саберите једначине (1) и (2) да бисте добили:

2к + 3и - з = 20

3к + 2и + з = 20 +

5к + 5и = 40

к + и = 8 ... (4)

Затим помножите 2 у једначини (2) и помножите 1 у једначини (1) да бисте добили:

3к + 2и + з = 20 | к2 6к + 4и + 2з = 40

к + 4и + 2з = 15 | к1 к + 4и + 2з = 15 -

5к = 25

к = 5

Након што сазнате вредност к, замените је за једначину (4) на следећи начин.

к + и = 8

5 + и = 8

и = 3

Вредности к и и замените у једначини (2) на следећи начин.

3к + 2и + з = 20

3 (5) + 2 (3) + з = 20

15 + 6 + з = 20

з = -

Дакле, скуп СПЛТВ решења (к, и, з) је (5, 3, -1).